integral0^2 integraly^2 y(x-y) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral0^2 integraly^2 y(x-y) , dx , dy. Neste exercício, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender como integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x: integraly^2 y(x - y) , dx. Isso significa que, para cada valor de y, vamos integrar a função (x - y) de x = y até x = 2y.

Passo 3

Vamos integrar (x - y) em relação a x. A integral de x em relação a x é 12x^2, e a integral de -y em relação a x é -y x. Então, temos:
integral (x - y) , dx = 12x^2 - yx + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de x = y e x = 2y:
[ 12(2y)^2 - y(2y) ] - [ 12y^2 - y(y) ]
= [ 12(4y^2) - 2y^2 ] - [ 12y^2 - y^2 ]
= (2y^2 - 2y^2) - ( 12y^2 - y^2 )
= 0 - ( -12y^2 )
= 12y^2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 12y^2 , dy
Isso simplifica para:
12 integral0^2 y^2 , dy

Passo 6

Vamos integrar y^2 em relação a y. A integral de y^2 é 13y^3. Então, temos:
12 [ 13y^3 ]0^2

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de y = 0 e y = 2:
12 ( 13(2)^3 - 13(0)^3 )
= 12 ( 83 - 0 )
= 12 times 83
= 43

Resposta

O valor da integral dupla é 43.

Exercícios relacionados