integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x^2 y^2 e R:[0,2] times[-2,0]

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular a integral dupla da função sobre a região , onde . Esse tipo de cálculo faz parte do estudo de Cálculo Integral, e vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis em uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, entendemos que a integral dupla pode ser separada em duas integrais iteradas, já que a região é retangular. Podemos integrar primeiro em relação a de -2 a 0 e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 3

Vamos então calcular a integral interna, que é em relação a integral-2^0 x^2 y^2 , dy :
x^2 integral-2^0 y^2 , dy
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos fatorá-lo para fora da integral:

Passo 4

Integrando integral y^2 , dy = y^33 + C em relação a y^33 |-2^0 = 0^33 - (-2)^33 = 0 - ( -83 ) = 83 :
x^2 times 83 = 83 x^2
Aplicando os limites de -2 a 0:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2 83 x^2 , dx = 83 integral0^2 x^2 , dx de 0 a 2:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Integrando x^33 |0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 - 0 = 83 em relação a 83 times 83 = 649 :
Aplicando os limites de 0 a 2:
Multiplicando pelo coeficiente:

Resposta

integral duplaR f(x, y) , dA = 649

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