e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de uma função
sobre a região
que é o retângulo definido por
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular volumes sob superfícies em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é definida como o conjunto de pontos
onde
varia de -1 a 0 e
varia de -1 a 1. Isso significa que estamos trabalhando com um retângulo no plano
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra. Vamos começar integrando em relação a
. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar
em relação a
, considerando
como constante:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.