integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x y^2 e R:[-1,0] times[-1,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região que é o retângulo definido por . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que permite calcular volumes sob superfícies em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como o conjunto de pontos onde varia de -1 a 0 e varia de -1 a 1. Isso significa que estamos trabalhando com um retângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra. Vamos começar integrando em relação a integral duplaR x y^2 , dA = integralx=-1^0 ( integraly=-1^1 x y^2 , dy ) dx . Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar integraly=-1^1 x y^2 , dy = x integraly=-1^1 y^2 , dy em relação a x [ y^33 ]-1^1 = x ( 1^33 - (-1)^33 ) = x ( 13 - ( -13 ) ) = x ( 23 ) = 23 x , considerando como constante:
Sabemos que a integral de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=-1^0 23 x , dx = 23 integral-1^0 x , dx
A integral de 23 [ x^22 ]-1^0 = 23 ( 0^22 - (-1)^22 ) = 23 ( 0 - 12 ) = 23 ( -12 ) = -13 em relação a é . Então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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