integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x^2-y^2 e R:[1,3] times[1,3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso tá dentro do assunto de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas, que servem pra calcular áreas e volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral dupla com os limites que a gente tem. Como a região integral duplaR (x^2 - y^2) , dA = integral1^3 integral1^3 (x^2 - y^2) , dy , dx é o intervalo de 1 a 3 tanto para quanto para , a gente pode escrever:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é a de integral1^3 (x^2 - y^2) , dy = integral1^3 x^2 , dy - integral1^3 y^2 , dy . A ideia aqui é tratar como uma constante enquanto integramos em relação a :

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
  1. Integral de integral1^3 x^2 , dy = x^2 (3 - 1) = 2x^2 em relação a integral1^3 y^2 , dy = y^33 |1^3 = 273 - 13 = 263 :
  1. Integral de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados de volta na integral externa:
integral1^3 (2x^2 - 263) , dx

Passo 6

Vamos resolver essa última integral em relação a 2 integral1^3 x^2 , dx - 263 integral1^3 , dx :
2 x^33 |1^3 = 2 ( 273 - 13 ) = 2 times 263 = 523
Resolvendo cada parte:
  1. Integral de 263 (3 - 1) = 263 times 2 = 523 em relação a :
  1. Integral de em relação a :

Resposta

Quando a gente subtrai as duas partes, temos:
523 - 523 = 0
Então, o valor da integral dupla é .

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