integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x^2 y^2 e R:[-2,0] times[-2,0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é o retângulo definido por . Para isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas sobre retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser separada em duas integrais simples. Ou seja, a integral dupla pode ser escrita como o produto das integrais de de a e de de a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral-2^0 x^2 , dx de [ x^33 ]-2^0 = 0^33 - (-2)^33 = 0 - ( -83 ) = 83 a :
A antiderivada de é . Então, avaliamos em e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral-2^0 y^2 , dy de [ y^33 ]-2^0 = 0^33 - (-2)^33 = 0 - ( -83 ) = 83 a :
Assim como com , a antiderivada de é . Avaliando em e :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos os resultados das duas integrais para obter a integral dupla:
integral duplaR x^2 y^2 , dA = ( 83 ) times ( 83 ) = 649

Resposta

A integral dupla de sobre a região é .

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