integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x y^2 e R:[0,2] times[-1,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral duplo! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região , que é o retângulo definido por entre 0 e 2 e entre -1 e 1. Ou seja, estamos trabalhando com integrais duplas em uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, para calcular a integral dupla sobre uma região retangular, a gente pode transformar isso em duas integrais simples, uma de cada variável. Então, a integral dupla fica assim:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2 ( integral-1^1 x y^2 , dy ) dx
Aqui, a gente integra primeiro em relação a de -1 a 1, mantendo fixo, e depois integra o resultado em relação a de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando integral-1^1 x y^2 , dy em relação a x integral-1^1 y^2 , dy :
x [ y^33 ]-1^1 = x ( 1^33 - (-1)^33 ) = x ( 13 - ( -13 ) ) = x ( 23 ) = 23x
Como é constante em relação a , a gente pode tirar ele da integral:
Agora, a integral de é , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 23x , dx :
23 integral0^2 x , dx
A constante 23 [ x^22 ]0^2 = 23 ( 2^22 - 0^22 ) = 23 ( 42 ) = 23 times 2 = 43 pode ficar fora da integral:
A integral de é , então:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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