integral duplaR(x y) d A e R=[-1,0] times[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR(x y) , dA, onde a região R é o retângulo definido por [-1,0] times [0,2]. Isso significa que vamos integrar a função xy sobre a área que vai de x = -1 até x = 0 e de y = 0 até y = 2. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e configurar corretamente os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla com os limites específicos. Podemos integrar primeiro em relação a y de 0 a 2, e depois em relação a x de -1 a 0:
integral-1^0 ( integral0^2 x y , dy ) dx
Isso simplifica a resolução, pois tratamos uma variável de cada vez.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integral de xy em relação a y:
integral0^2 x y , dy
Como x é uma constante em relação a y, podemos tirá-lo da integral:
x integral0^2 y , dy
Agora, integramos y:
x [ y^22 ]0^2 = x ( 2^22 - 0^22 ) = x ( 42 ) = 2x

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos de volta na integral externa:
integral-1^0 2x , dx
Vamos integrar 2x em relação a x:
2 integral-1^0 x , dx = 2 [ x^22 ]-1^0 = 2 ( 0^22 - (-1)^22 ) = 2 ( 0 - 12 ) = -1

Resposta

A integral dupla integral duplaR(x y) , dA sobre a região R = [-1,0] times [0,2] é igual a -1.

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