integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x^2-y^2 e R:[0,2] times[1,3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região que é o retângulo definido por . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente das integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas e aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Como a região integraly=1^3 ( integralx=0^2 (x^2 - y^2) , dx ) dy é um retângulo, podemos integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa. Vamos escolher integrar em primeiro. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral0^2 (x^2 - y^2) , dx :
integral0^2 x^2 , dx - integral0^2 y^2 , dx
Isso podemos separar em duas integrais:

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
  1. 83 - 2y^2
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral1^3 ( 83 - 2y^2 ) dy
Vamos integrar termo a termo:
83 integral1^3 dy - 2 integral1^3 y^2 , dy

Passo 6

Calculando cada parte:

Passo 7

Agora, juntando tudo:
163 - 523 = -363 = -12

Resposta

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