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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região que é o retângulo definido por . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente das integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas e aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Como a região é um retângulo, podemos integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa. Vamos escolher integrar em primeiro. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a :
Isso podemos separar em duas integrais:

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Calculando cada parte:

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Resposta

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