integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x^2 y^2 e R:[1,3] times[0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente precisa calcular a integral de sobre a região que é o retângulo definido por entre 1 e 3 e entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais iteradas, que é quando a gente calcula a integral em duas etapas, primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que a gente vai integrar integral duplaR x^2 y^2 , dA = integral1^3 ( integral0^2 x^2 y^2 , dy ) dx primeiro em relação a de 0 a 2, e depois em relação a de 1 a 3. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é a integral de integral0^2 x^2 y^2 , dy = x^2 integral0^2 y^2 , dy em relação a integral y^2 , dy = y^33 de 0 a 2. Lembre-se que x^2 [ y^33 ]0^2 = x^2 ( 2^33 - 0^33 ) = x^2 ( 83 ) = 83 x^2 é tratado como uma constante nessa etapa.
A integral de em relação a é:
Então, avaliando de 0 a 2:

Passo 4

Agora, vamos substituir o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 83 x^2 , dx
Como 83 integral1^3 x^2 , dx é uma constante, podemos fatorá-la para fora da integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral x^2 , dx = x^33 em relação a 83 [ x^33 ]1^3 = 83 ( 3^33 - 1^33 ) = 83 ( 273 - 13 ) = 83 ( 263 ) = 2089 :
Então, avaliando de 1 a 3:

Resposta

integral duplaR x^2 y^2 , dA = 2089

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