integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=xy e R:[1,3] times[1,3]

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos calcular a integral dupla da função sobre a região que está definida como o produto dos intervalos [1,3] para e [1,3] para . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como configurar e calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração integral duplaR xy , dA = integralx=1^3 integraly=1^3 xy , dy , dx . Como , isso significa que tanto quanto variam de 1 a 3. Então, a integral dupla pode ser escrita como:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^3 xy , dy :
integral1^3 xy , dy = x [ ln y ]1^3 = x (ln 3 - ln 1)
Aqui, = x ln 3 é tratado como uma constante em relação a . A integral de em relação a é . Então,
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 x ln 3 , dx = ln 3 integral1^3 x , dx
A constante pode ser tirada para fora da integral.

Passo 5

Calculamos a integral de integral1^3 x , dx = [ x^22 ]1^3 = 3^22 - 1^22 = 92 - 12 = 82 = 4 em relação a :

Resposta

Multiplicando pelo integral duplaR xy , dA = ln 3 times 4 = 4 ln 3 :

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