integral duplaR f(x y) d A, f(x, y)=x^2-y^2 e R:[0,2] times[2,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular , onde e a região é o retângulo definido por . Isso significa que vamos integrar a função sobre todos os pontos de 0 a 2 e de 2 a 4. Para isso, vamos usar as técnicas de integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Como a região integral duplaR (x^2 - y^2) , dA = integraly=2^4 ( integralx=0^2 (x^2 - y^2) , dx ) dy é um retângulo, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^2 (x^2 - y^2) , dx :
integral0^2 x^2 , dx - integral0^2 y^2 , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
A segunda integral é com respeito a , mas é tratado como uma constante nessa etapa.

Passo 4

Calculando cada parte:
  1. 83 - 2y^2
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral2^4 ( 83 - 2y^2 ) dy
Vamos novamente separar essa integral:
integral2^4 83 , dy - integral2^4 2y^2 , dy

Passo 6

Calculando cada parte:

Passo 7

Subtraindo os resultados das integrais:
163 - 1123 = -963 = -32

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

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