e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular , onde e a região é o retângulo definido por . Isso significa que vamos integrar a função sobre todos os pontos de 0 a 2 e de 2 a 4. Para isso, vamos usar as técnicas de integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Como a região é um retângulo, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Vamos separar essa integral em duas partes:
A segunda integral é com respeito a , mas é tratado como uma constante nessa etapa.

Passo 4

Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos novamente separar essa integral:

Passo 6

Calculando cada parte:

Passo 7

Subtraindo os resultados das integrais:

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

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