e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular
, onde
e a região
é o retângulo definido por
. Isso significa que vamos integrar a função
sobre todos os pontos
de 0 a 2 e
de 2 a 4. Para isso, vamos usar as técnicas de integrais duplas em regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como configurar a integral dupla. Como a região
é um retângulo, podemos escrever a integral como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
A segunda integral é com respeito a
, mas
é tratado como uma constante nessa etapa.
Passo 4
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos novamente separar essa integral:
Passo 6
Calculando cada parte:
Passo 7
Subtraindo os resultados das integrais:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a
.