Seja V o volume do sólido que fica abaixo do gráfico de f(x, y) = raiz(52 - x^2 - y^2) e acima do retângulo dado por 2 <= x <= 4,2 <= y <= 6. Use as retas x = 3 e x = 4 para dividir R em subretângulos. Sejam L e U as somas de Riemann usando os cantos inferiores esquerdos e os cantos superiores direitos, respectivamente. Sem calcular os números V, L e U, coloque-os em ordem crescente e explique seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a ordem entre o volume real do sólido que está abaixo do gráfico de e as somas de Riemann e que aproximam esse volume. A matéria envolve cálculo de volumes usando integrais e somas de Riemann. Para resolver, vamos entender como essas somas funcionam e como elas se comparam com o volume real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as somas de Riemann. Elas são maneiras de aproximar o valor de uma integral (nesse caso, o volume ) dividindo a região em pequenos pedaços, chamados subretângulos, e somando os volumes desses pedaços. A soma usa os cantos inferiores esquerdos de cada subretângulo para calcular a altura, enquanto a soma usa os cantos superiores direitos.

Passo 3

No nosso problema, a região é dividida pelas retas e , criando subretângulos. Usando os cantos inferiores esquerdos para e superiores direitos para , a gente sabe que:
  • A soma vai subestimar o volume real , porque está pegando os menores valores de em cada subretângulo.
  • A soma vai superestimar o volume real , já que está pegando os maiores valores de em cada subretângulo.

Passo 4

Então, colocando tudo isso junto, temos que:
Isso significa que a soma de Riemann baixa ( ) é menor ou igual ao volume real ( ), que por sua vez é menor ou igual à soma de Riemann alta ( ).

Resposta

A ordem crescente é .

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