Seja
o volume do sólido que fica abaixo do gráfico de
e acima do retângulo dado por
. Use as retas
e
para dividir
em subretângulos. Sejam
e
as somas de Riemann usando os cantos inferiores esquerdos e os cantos superiores direitos, respectivamente. Sem calcular os números
e
, coloque-os em ordem crescente e explique seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a ordem entre o volume real
do sólido que está abaixo do gráfico de
e as somas de Riemann
e
que aproximam esse volume. A matéria envolve cálculo de volumes usando integrais e somas de Riemann. Para resolver, vamos entender como essas somas funcionam e como elas se comparam com o volume real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as somas de Riemann. Elas são maneiras de aproximar o valor de uma integral (nesse caso, o volume
) dividindo a região em pequenos pedaços, chamados subretângulos, e somando os volumes desses pedaços. A soma
usa os cantos inferiores esquerdos de cada subretângulo para calcular a altura, enquanto a soma
usa os cantos superiores direitos.
Passo 3
No nosso problema, a região
é dividida pelas retas
e
, criando subretângulos. Usando os cantos inferiores esquerdos para
e superiores direitos para
, a gente sabe que:
- A soma
vai subestimar o volume real , porque está pegando os menores valores de em cada subretângulo. - A soma
vai superestimar o volume real , já que está pegando os maiores valores de em cada subretângulo.
Passo 4
Então, colocando tudo isso junto, temos que:
Isso significa que a soma de Riemann baixa (
) é menor ou igual ao volume real (
), que por sua vez é menor ou igual à soma de Riemann alta (
).
Resposta
A ordem crescente é
.