integral duplaR(x^2+y^3-6) d A e R=[0,1] times[1,3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos somar os valores de para todos os pontos dentro desse retângulo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, que basicamente envolvem fazer duas integrações consecutivas.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral dupla. A região integral duplaR (x^2 + y^3 - 6) , dA = integralx=0^1 integraly=1^3 (x^2 + y^3 - 6) , dy , dx está definida por variando de 0 a 1 e variando de 1 a 3. Podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função integraly=1^3 (x^2 + y^3 - 6) , dy em relação a x^2 y + y^44 - 6y |1^3 , tratando como uma constante:
Integrando termo a termo:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir os limites de integração x^2(3) + 3^44 - 6(3) = 3x^2 + 814 - 18 e x^2(1) + 1^44 - 6(1) = x^2 + 14 - 6 na expressão que obtivemos:
Para (3x^2 + 814 - 18) - (x^2 + 14 - 6) = 2x^2 + 804 - 12 = 2x^2 + 20 - 12 = 2x^2 + 8 :
Para :
Subtraindo os dois resultados:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado integralx=0^1 (2x^2 + 8) , dx em relação a 2x^33 + 8x |0^1 = (2(1)^33 + 8(1)) - (2(0)^33 + 8(0)) = 23 + 8 = 263 de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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