integral(t cos t^2 i+1t j+sec ^2 t k) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função vetorial em relação a integral(t cos t^2 i+1t j+sec ^2 t k) dt . A função é dada por:
Isso significa que precisamos integrar cada componente vetorial separadamente. Para resolver isso, vamos usar técnicas básicas de integração, como substituição e integrais conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção integral t cos t^2 , dt :
integral t cos t^2 , dt = 12 integral cos u , du = 12 sin u + C = 12 sin t^2 + C
Aqui, vamos usar a substituição. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente na direção integral 1t , dt :
integral 1t , dt = ln |t| + C
Essa é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:

Passo 4

Por fim, vamos integrar a componente na direção integral sec^2 t , dt :
integral sec^2 t , dt = tan t + C
Sabemos que a integral de é:

Resposta

Então, a integral da função vetorial é:
12 sin t^2 i + ln |t| j + tan t k + C
Onde é o vetor constante de integração.

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