Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral dupla
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver, a gente vai precisar saber como integrar funções em coordenadas polares e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem da integração. Temos que integrar em
de 0 a 1 e em
de 0 a 2. Mas olhando bem, parece que os limites de
estão de 0 a 1 radiano, o que é um intervalo correto.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A função que vamos integrar é
. Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar
da integral:
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 5
Integrando termo a termo:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Passo 7
Agora, vamos integrar
de 0 a 2:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Resolver os seguinte problemas de otimização:
Resolver o problema de otimização, encontrando o valor extremo da função
sujeito à restrição
. Determine por meio da condição de segunda ordem se nesse valor a função alcançará um valor máximo ou mínimo.
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