integral0^2 integral0^1 r sin ^2 theta d theta d r

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver, a gente vai precisar saber como integrar funções em coordenadas polares e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem da integração. Temos que integrar em de 0 a 1 e em de 0 a 2. Mas olhando bem, parece que os limites de estão de 0 a 1 radiano, o que é um intervalo correto.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 r sin^2 theta , dtheta = r integral0^1 sin^2 theta , dtheta . A função que vamos integrar é . Como é uma constante em relação a , podemos tirar da integral:

Passo 4

Agora precisamos calcular sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
integral sin^2 theta , dtheta = integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral (1 - cos(2theta)) , dtheta
Então,

Passo 5

Integrando termo a termo:
12 [ integral 1 , dtheta - integral cos(2theta) , dtheta ] = 12 [ theta - sin(2theta)2 ] + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1:
12 [ (1 - sin(2 cdot 1)2) - (0 - sin(0)2) ] = 12 (1 - sin 22)

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
integral0^2 r ( 12 (1 - sin 22) ) dr = 12 (1 - sin 22) integral0^2 r , dr

Passo 7

Agora, vamos integrar integral0^2 r , dr = [ r^22 ]0^2 = (2)^22 - 0^22 = 42 = 2 de 0 a 2:

Passo 8

Substituindo de volta:
12 (1 - sin 22) times 2 = (1 - sin 22)

Resposta

O valor da integral dupla é .

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lim x -1 x^3+4 x^2-3x^2+5
(0)
integral duplaR 5 y^2x^2+1 d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,-3 <= y <= 3