Mostrar que o valor absoluto da derivada direcional de é independente da direção dada no plano xy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o valor absoluto da derivada direcional da função vetorial não depende da direção no plano . Ou seja, independente de para qual direção a gente escolha calcular essa derivada, o resultado final vai ser o mesmo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular usando a matriz jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para funções vetoriais como , a matriz jacobiana é simplesmente a matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes da função. Nesse caso:
Passo 3
Agora, a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Substituindo a matriz jacobiana que encontramos:
Passo 4
O próximo passo é calcular o valor absoluto (ou norma) dessa derivada direcional. A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso na nossa derivada direcional:
Mas como é um vetor unitário, temos que:
Portanto:
Resposta
O valor absoluto da derivada direcional de é sempre igual a 1, independentemente da direção escolhida no plano .