Mostrar que o valor absoluto da derivada direcional de é independente da direção dada no plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o valor absoluto da derivada direcional da função vetorial não depende da direção no plano . Ou seja, independente de para qual direção a gente escolha calcular essa derivada, o resultado final vai ser o mesmo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular usando a matriz jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para funções vetoriais como , a matriz jacobiana é simplesmente a matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes da função. Nesse caso:

Passo 3

Agora, a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Substituindo a matriz jacobiana que encontramos:

Passo 4

O próximo passo é calcular o valor absoluto (ou norma) dessa derivada direcional. A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso na nossa derivada direcional:
Mas como é um vetor unitário, temos que:
Portanto:

Resposta

O valor absoluto da derivada direcional de é sempre igual a 1, independentemente da direção escolhida no plano .

Exercícios relacionados

Seja , encontre a direção no plano xy na qual tem valor máximo.
,
é o limite da região delimitada pelo cilindro pelos planos e
Resolva as equações abaixo:
(a) Mostre que é uma solução da equação linear
e é uma solução da equação não linear