Seja , encontre a direção no plano xy na qual tem valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial no plano xy, que é . O objetivo é encontrar a direção no plano xy onde a magnitude da derivada direcional de no ponto é máxima. Isso está relacionado ao conceito de derivada direcional e como ela varia conforme a direção escolhida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função na direção de um vetor unitário . Para funções vetoriais, a derivada direcional de na direção de é dada por:
Aqui, representa o gradiente de , que é uma matriz composta pelas derivadas parciais das componentes de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:

Passo 4

A derivada direcional é máxima quando o vetor está na direção do gradiente . Isso porque o produto escalar atinge seu valor máximo quando os dois vetores são paralelos. Portanto, para encontrar a direção que maximiza , devemos alinhar com o gradiente em .

Passo 5

No ponto , o gradiente continua sendo:
Para obter a direção unitária, normalizamos o gradiente:
Então, a direção á é:
á

Resposta

A direção no plano xy onde é máxima é dada pelo vetor unitário:
á

Exercícios relacionados

,
é o limite da região delimitada pelo cilindro pelos planos e
(a) Mostre que as equações paramétricas ,
sen sen , representam um elipsoide.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso .
© Determine, mas não calcule, uma integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).
Mostrar que o valor absoluto da derivada direcional de é independente da direção dada no plano xy.
Resolva as equações abaixo: