Seja f(x, y) = 2 x i + y j, encontre a direção no plano xy na qual |D_u f(-1,1)| tem valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial no plano xy, que é . O objetivo é encontrar a direção no plano xy onde a magnitude da derivada direcional de f no ponto é máxima. Isso está relacionado ao conceito de derivada direcional e como ela varia conforme a direção escolhida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função na direção de um vetor unitário u. Para funções vetoriais, a derivada direcional de f na direção de u é dada por:
Aqui, representa o gradiente de f, que é uma matriz composta pelas derivadas parciais das componentes de f.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . As derivadas parciais são:
Então, o gradiente é:

Passo 4

A derivada direcional é máxima quando o vetor u está na direção do gradiente . Isso porque o produto escalar atinge seu valor máximo quando os dois vetores são paralelos. Portanto, para encontrar a direção que maximiza , devemos alinhar u com o gradiente em (-1, 1).

Passo 5

No ponto , o gradiente continua sendo:
Para obter a direção unitária, normalizamos o gradiente:
Então, a direção á é:
á

Resposta

A direção no plano xy onde é máxima é dada pelo vetor unitário:
á

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