Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo escalar e um campo vetorial . A pergunta é sobre uma expressão específica: . Vamos precisar entender o que é divergente (div) e como ele age sobre um campo vetorial para responder se essa expressão faz sentido e que tipo de campo ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergente. A divergente de um campo vetorial é uma operação que resulta em um campo escalar. Ela mede a taxa com que o campo “espalha” ou “converge” em cada ponto do espaço. Matematicamente, para um campo , a divergente é dada por:
Isso quer dizer que somamos as derivadas parciais das componentes de em relação às suas coordenadas correspondentes.

Passo 3

Aplicando isso à expressão , vemos que está tudo certo. Estamos aplicando a operação de divergente a um campo vetorial, o que é exatamente o que a definição pede. E como vimos, o resultado dessa operação é um campo escalar.

Resposta

A expressão tem significado e resulta em um campo escalar.

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Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
onde o momento de massa e é a distância do ponto ao eixo. Além disso o centro de massa é definido por
com a massa total de . Com estas informações, determine:
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação , em torno do eixo .
Prove que toda sequência de números reais decrescente e limitada inferiormente é convergente e converge para o ínfimo do conjunto de seus termos.
Prove que as seguintes sequências são de Cauchy.
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