integral duplaS z d S, onde S é o pedaço do cone z=raiz2 x^2+2 y^2 no interior do cilindro (x-1)^2+y^2=1.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície , onde é uma parte do cone dado por que está dentro do cilindro . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas apropriadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cone . Podemos reescrever isso como , o que mostra que o cone tem simetria circular.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E a equação do cone fica:
z = raiz2r^2 = rraiz2

Passo 4

Agora, vamos analisar a região de integração, que é a interseção do cone com o cilindro (r costheta - 1)^2 + (r sintheta)^2 = 1 . Substituindo r^2 cos^2theta - 2r costheta + 1 + r^2 sin^2theta = 1 e r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - 2r costheta + 1 = 1 na equação do cilindro:
r^2 - 2r costheta = 0
Expandindo e simplificando:
r(r - 2costheta) = 0
Então, ou . Como é apenas o ponto origem, a região de integração é .

Passo 5

Determinar os limites para . Como deve ser positivo, , o que ocorre quando .

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas. A integral integral duplaD z raiz ( partial zpartial r )^2 + ( partial zpartial theta )^2 , r , dr , dtheta pode ser escrita como:
partial zpartial r = raiz2, partial zpartial theta = 0
Calculando as derivadas parciais:
integral duplaD z raiz (raiz2)^2 + 0 , r , dr , dtheta = integral duplaD z raiz2 , r , dr , dtheta
Então, a expressão da integral fica:
integral duplaD rraiz2 cdot raiz2 , r , dr , dtheta = integral duplaD 2r^2 , dr , dtheta
Como , substituímos:

Passo 7

Agora, vamos integrar sobre a região integral-pi2^pi2 integral0^2costheta 2r^2 , dr , dtheta , onde integral0^2costheta 2r^2 , dr = 2 [ r^33 ]0^2costheta = 2 cdot (2costheta)^33 = 163 cos^3theta e :
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a 163 integral-pi2^pi2 cos^3theta , dtheta :
integral cos^3theta , dtheta = sintheta (2 + cos^2theta)3
Usando a identidade de integração de potências de cosseno:
163 [ sintheta (2 + cos^2theta)3 ]-pi2^pi2 = 163 cdot 43 = 649
Calculando entre os limites:

Resposta

A integral de superfície vale .

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