, onde é o pedaço do cone no interior do cilindro .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície , onde é uma parte do cone dado por que está dentro do cilindro . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas apropriadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cone . Podemos reescrever isso como , o que mostra que o cone tem simetria circular.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação do cone fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar a região de integração, que é a interseção do cone com o cilindro . Substituindo e na equação do cilindro:
Expandindo e simplificando:
Então, ou . Como é apenas o ponto origem, a região de integração é .

Passo 5

Determinar os limites para . Como deve ser positivo, , o que ocorre quando .

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas. A integral pode ser escrita como:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão da integral fica:
Como , substituímos:

Passo 7

Agora, vamos integrar sobre a região , onde e :
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Usando a identidade de integração de potências de cosseno:
Calculando entre os limites:

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

, onde é o pedaço da esfera na região .
Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
a)
e é o pedaço do plano contido no interior da esfera , orientado pela normal apontando para cima.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da superfície por com orientação apontando para a direção negativa do eixo .