, onde
é o pedaço do cone
no interior do cilindro
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície
, onde
é uma parte do cone dado por
que está dentro do cilindro
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e coordenadas apropriadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cone
. Podemos reescrever isso como
, o que mostra que o cone tem simetria circular.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação do cone fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar a região de integração, que é a interseção do cone com o cilindro
. Substituindo
e
na equação do cilindro:
Expandindo e simplificando:
Então,
ou
. Como
é apenas o ponto origem, a região de integração é
.
Passo 5
Determinar os limites para
. Como
deve ser positivo,
, o que ocorre quando
.
Passo 6
Agora, vamos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas. A integral
pode ser escrita como:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão da integral fica:
Como
, substituímos:
Passo 7
Agora, vamos integrar sobre a região
, onde
e
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Usando a identidade de integração de potências de cosseno:
Calculando entre os limites:
Resposta
A integral de superfície
vale
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
a)
a)
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da superfície
por
com orientação apontando para a direção negativa do eixo
.