Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
integralS rot F cdot n d S
onde
F(x, y, z)=(z^2-1) i+(z+x y^3) j+6 k onde S é a porção da superfície x=6-4 y^2-4 z^2 por x >=-2 com orientação apontando para a direção negativa do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de superfície que envolve o rotacional de um campo vetorial, então o conteúdo principal é Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como aplicar o Teorema de Stokes e parametrizar a curva de contorno da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F, mede a tendência de rotação do campo em cada ponto. Para o campo dado:
F(x, y, z) = (z^2-1) i + (z + x y^3) j + 6 k
Vamos calcular o rotacional de F. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
rot F = ( partial Fkpartial y - partial Fjpartial z ) i + ( partial Fipartial z - partial Fkpartial x ) j + ( partial Fjpartial x - partial Fipartial y ) k

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente i:
    partial Fkpartial y - partial Fjpartial z = partial 6partial y - partial (z + x y^3)partial z = 0 - 1 = -1
  2. Componente j:
    partial Fipartial z - partial Fkpartial x = partial (z^2 - 1)partial z - partial 6partial x = 2z - 0 = 2z
  3. Componente k:
    partial Fjpartial x - partial Fipartial y = partial (z + x y^3)partial x - partial (z^2 - 1)partial y = y^3 - 0 = y^3
Então, o rotacional de F é:
rot F = -i + 2z,j + y^3,k

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. A fórmula do teorema é:
integralS rot F cdot n , dS = ointC F cdot dr
Onde:
  • S é a superfície dada.
  • C é a borda de S.
  • n é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos identificar a curva de contorno C da superfície S. A superfície é definida por:
x = 6 - 4y^2 - 4z^2, x >= -2
Para encontrar a borda, igualamos x = -2 na equação da superfície:
-2 = 6 - 4y^2 - 4z^2 Rightarrow 4y^2 + 4z^2 = 8 Rightarrow y^2 + z^2 = 2
Então, a curva C é um círculo no plano x = -2 com raio raiz2.

Passo 6

Vamos parametrizar a curva C. Como é um círculo no plano x = -2 com raio raiz2, podemos usar coordenadas polares:
y = raiz2 costheta z = raiz2 sintheta x = -2
Onde theta varia de 0 a 2pi.
O vetor posição da curva é então:
r(theta) = (-2) i + raiz2 costheta , j + raiz2 sintheta , k

Passo 7

Agora, vamos calcular dr, que é o vetor diferencial ao longo da curva:
dr = drdtheta dtheta = (0 i - raiz2 sintheta , j + raiz2 costheta , k) dtheta

Passo 8

Vamos avaliar o campo vetorial F ao longo da curva C. Substituindo x = -2, y = raiz2 costheta, e z = raiz2 sintheta na expressão de F:
F(-2, raiz2 costheta, raiz2 sintheta) = ((raiz2 sintheta)^2 - 1) i + (raiz2 sintheta + (-2)(raiz2 costheta)^3) j + 6 k
Simplificando:
= (2 sin^2theta - 1) i + (raiz2 sintheta - 4raiz2 cos^3theta) j + 6 k

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (2 sin^2theta - 1) cdot 0 + (raiz2 sintheta - 4raiz2 cos^3theta) cdot (-raiz2 sintheta) + 6 cdot (raiz2 costheta)
Simplificando termo a termo:
  1. Primeira parte: (2 sin^2theta - 1) cdot 0 = 0
  2. Segunda parte: (raiz2 sintheta - 4raiz2 cos^3theta) cdot (-raiz2 sintheta) = -2 sin^2theta + 8 cos^3theta sintheta
  3. Terceira parte: 6 cdot raiz2 costheta = 6raiz2 costheta
Então:
F cdot dr = -2 sin^2theta + 8 cos^3theta sintheta + 6raiz2 costheta

Passo 10

Agora, vamos integrar F cdot dr de theta = 0 a theta = 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi (-2 sin^2theta + 8 cos^3theta sintheta + 6raiz2 costheta ) dtheta
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integra de -2 sin^2theta:
    -2 integral0^2pi sin^2theta , dtheta = -2 cdot pi = -2pi
  2. Integra de 8 cos^3theta sintheta:
    Fazemos substituição u = costheta, du = -sintheta dtheta.
    8 integral cos^3theta sintheta , dtheta = -8 integral u^3 du = -8 cdot u^44 = -2u^4
    Avaliando de 0 a 2pi, como cos(0) = cos(2pi) = 1, o resultado é zero.
  3. Integra de 6raiz2 costheta:
    6raiz2 integral0^2pi costheta , dtheta = 6raiz2 cdot 0 = 0

Passo 11

Somando tudo:
ointC F cdot dr = -2pi + 0 + 0 = -2pi

Resposta

A integral vale -2pi.

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