Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da superfície por com orientação apontando para a direção negativa do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de superfície que envolve o rotacional de um campo vetorial, então o conteúdo principal é Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como aplicar o Teorema de Stokes e parametrizar a curva de contorno da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência de rotação do campo em cada ponto. Para o campo dado:
Vamos calcular o rotacional de . A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :
Então, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. A fórmula do teorema é:
Onde:
  • é a superfície dada.
  • é a borda de .
  • é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos identificar a curva de contorno da superfície . A superfície é definida por:
Para encontrar a borda, igualamos na equação da superfície:
Então, a curva é um círculo no plano com raio .

Passo 6

Vamos parametrizar a curva . Como é um círculo no plano com raio , podemos usar coordenadas polares:
Onde varia de a .
O vetor posição da curva é então:

Passo 7

Agora, vamos calcular , que é o vetor diferencial ao longo da curva:

Passo 8

Vamos avaliar o campo vetorial ao longo da curva . Substituindo , , e na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando termo a termo:
  1. Primeira parte:
  2. Segunda parte:
  3. Terceira parte:
Então:

Passo 10

Agora, vamos integrar de a :
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integra de :
  2. Integra de :
    Fazemos substituição , .
    Avaliando de a , como , o resultado é zero.
  3. Integra de :

Passo 11

Somando tudo:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

e é o pedaço do plano contido no interior da esfera , orientado pela normal apontando para cima.
, onde é o pedaço do cone no interior do cilindro .
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da esfera de raio 4 , com , orientada com a normal que aponta para a cima.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e é a interseção do cone com a semi-esfera . (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).