Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da superfície
por
com orientação apontando para a direção negativa do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de superfície que envolve o rotacional de um campo vetorial, então o conteúdo principal é Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como aplicar o Teorema de Stokes e parametrizar a curva de contorno da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de rotação do campo em cada ponto. Para o campo dado:
Vamos calcular o rotacional de
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha do campo ao longo da borda da superfície. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é a superfície dada. -
é a borda de . -
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Vamos identificar a curva de contorno
da superfície
. A superfície é definida por:
Para encontrar a borda, igualamos
na equação da superfície:
Então, a curva
é um círculo no plano
com raio
.
Passo 6
Vamos parametrizar a curva
. Como é um círculo no plano
com raio
, podemos usar coordenadas polares:
Onde
varia de
a
.
O vetor posição da curva é então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que é o vetor diferencial ao longo da curva:
Passo 8
Vamos avaliar o campo vetorial
ao longo da curva
. Substituindo
,
, e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando termo a termo:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
- Terceira parte:
Então:
Passo 10
Agora, vamos integrar
de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
-
Integra de
: -
Integra de
:
Fazemos substituição, . Avaliando dea , como , o resultado é zero. -
Integra de
:
Passo 11
Somando tudo:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da esfera de raio 4 , com
, orientada com a normal que aponta para a cima.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e
é a interseção do cone
com a semi-esfera
. (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).