e
é o pedaço do plano
contido no interior da esfera
, orientado pela normal apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial
e uma superfície
que é uma parte do plano
dentro da esfera
. Nosso objetivo provavelmente é calcular o fluxo desse campo vetorial através da superfície
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integração de superfícies e normal de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um plano
e uma esfera com raio 3 (já que
). A interseção desses dois dá uma curva que é um círculo. Portanto,
é a parte do plano limitada por esse círculo.
Passo 3
Para calcular o fluxo de
através de
, usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Precisamos encontrar esse vetor normal.
Passo 4
O plano
tem como vetor normal
. Mas precisamos que ele esteja orientado para cima. Para garantir isso, vamos verificar a direção do vetor normal. Se o terceiro componente (z) for positivo, está para cima. Nosso
já tem z positivo, então está correto.
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Vamos fazer o produto escalar:
Interessante, o produto escalar resultou em uma constante, 3.
Passo 6
Com o integrando sendo 3, a integral de superfície simplifica para:
Então, precisamos calcular a área da região
, que é um círculo no plano com raio determinado pela interseção com a esfera.
Passo 7
Para encontrar o raio desse círculo, vamos substituir o plano na equação da esfera:
Substituindo na esfera:
Isso representa um círculo no plano. Para simplificar, podemos encontrar o raio utilizando o fato de que a distância do plano à origem é dada por:
Isso significa que a origem está no plano, e o raio do círculo é igual ao raio da esfera, que é 3.
Passo 8
Portanto, a área de
é a área de um círculo com raio 3:
Passo 9
Finalmente, o fluxo é:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da superfície
por
com orientação apontando para a direção negativa do eixo
.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da esfera de raio 4 , com
, orientada com a normal que aponta para a cima.