e é o pedaço do plano contido no interior da esfera , orientado pela normal apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial e uma superfície que é uma parte do plano dentro da esfera . Nosso objetivo provavelmente é calcular o fluxo desse campo vetorial através da superfície . Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integração de superfícies e normal de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um plano e uma esfera com raio 3 (já que ). A interseção desses dois dá uma curva que é um círculo. Portanto, é a parte do plano limitada por esse círculo.

Passo 3

Para calcular o fluxo de através de , usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde é o vetor normal à superfície . Precisamos encontrar esse vetor normal.

Passo 4

O plano tem como vetor normal . Mas precisamos que ele esteja orientado para cima. Para garantir isso, vamos verificar a direção do vetor normal. Se o terceiro componente (z) for positivo, está para cima. Nosso já tem z positivo, então está correto.

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Vamos fazer o produto escalar:
Interessante, o produto escalar resultou em uma constante, 3.

Passo 6

Com o integrando sendo 3, a integral de superfície simplifica para:
Á
Então, precisamos calcular a área da região , que é um círculo no plano com raio determinado pela interseção com a esfera.

Passo 7

Para encontrar o raio desse círculo, vamos substituir o plano na equação da esfera:
Substituindo na esfera:
Isso representa um círculo no plano. Para simplificar, podemos encontrar o raio utilizando o fato de que a distância do plano à origem é dada por:
Isso significa que a origem está no plano, e o raio do círculo é igual ao raio da esfera, que é 3.

Passo 8

Portanto, a área de é a área de um círculo com raio 3:
Á

Passo 9

Finalmente, o fluxo é:

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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, onde é o pedaço do cone no interior do cilindro .
, onde é o pedaço da esfera na região .
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da superfície por com orientação apontando para a direção negativa do eixo .
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da esfera de raio 4 , com , orientada com a normal que aponta para a cima.