, sendo e a parte do plano cortada pelos planos e e a normal com componente não negativa;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Precisamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é parte do plano , limitada pelos planos , , e . Também, a normal precisa ter a componente positiva ou zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de superfície e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . O plano é dado por . Queremos a parte desse plano que está entre a e a . Para facilitar, podemos resolver a equação do plano para em função de e :
Isso nos dá uma função que vamos usar para parametrizar a superfície.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a normal ao plano. A maneira mais fácil de fazer isso é usando os coeficientes da equação do plano. Para um plano , o vetor normal é . Então, para nosso plano:
Mas precisamos garantir que a componente não seja negativa. Como é positivo, estamos tranquilos!

Passo 4

O próximo passo é calcular o elemento de área . Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais da nossa função :
Então:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície. Temos:
Mas como já está normalizado pelo , simplificamos:
Substituindo pela expressão encontrada:
Interessante! A expressão simplifica para 12.

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
Onde é a região no plano com e .

Passo 7

Calculando a área de , que é um retângulo:
Á
Então:

Resposta

O valor da integral de superfície é 30.

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