integral duplaS F n d S, sendo F=(x, y, z) e S a parte do plano 2 x+3 y+4 z=12 cortada pelos planos x=0, y=0, x=1 e y=2 e n a normal com componente z não negativa;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde F = (x, y, z). A superfície S é parte do plano 2x + 3y + 4z = 12, limitada pelos planos x=0, y=0, x=1 e y=2. Também, a normal n precisa ter a componente z positiva ou zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de superfície e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. O plano é dado por 2x + 3y + 4z = 12. Queremos a parte desse plano que está entre x=0 a x=1 e y=0 a y=2. Para facilitar, podemos resolver a equação do plano para z em função de x e y:
4z = 12 - 2x - 3y z = 3 - 12x - 34y
Isso nos dá uma função z(x, y) que vamos usar para parametrizar a superfície.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a normal n ao plano. A maneira mais fácil de fazer isso é usando os coeficientes da equação do plano. Para um plano Ax + By + Cz = D, o vetor normal é (A, B, C). Então, para nosso plano:
n = (2, 3, 4)
Mas precisamos garantir que a componente z não seja negativa. Como 4 é positivo, estamos tranquilos!

Passo 4

O próximo passo é calcular o elemento de área dS. Para isso, usamos a fórmula:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais da nossa função z(x, y):
partial zpartial x = -12 partial zpartial y = -34
Então:
dS = raiz(-12)^2 + (-34)^2 + 1 , dx , dy = raiz14 + 916 + 1 , dx , dy = raiz2516 , dx , dy = 54 , dx , dy

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de superfície. Temos:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F(x, y, z) cdot n|n| cdot |n| , dA
Mas como n já está normalizado pelo dS, simplificamos:
F cdot n = (x, y, z) cdot (2, 3, 4) = 2x + 3y + 4z
Substituindo z pela expressão encontrada:
2x + 3y + 4(3 - 12x - 34y) = 2x + 3y + 12 - 2x - 3y = 12
Interessante! A expressão simplifica para 12.

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
integral duplaS 12 cdot 54 , dx , dy = 15 integral duplaD , dx , dy
Onde D é a região no plano xy com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 7

Calculando a área de D, que é um retângulo:
Área = base times aÁ
Então:
15 times 2 = 30

Resposta

O valor da integral de superfície é 30.

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