, sendo
e
a parte do plano
cortada pelos planos
e
e
a normal com componente
não negativa;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Precisamos calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é parte do plano
, limitada pelos planos
,
,
e
. Também, a normal
precisa ter a componente
positiva ou zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de superfície e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. O plano é dado por
. Queremos a parte desse plano que está entre
a
e
a
. Para facilitar, podemos resolver a equação do plano para
em função de
e
:
Isso nos dá uma função
que vamos usar para parametrizar a superfície.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a normal
ao plano. A maneira mais fácil de fazer isso é usando os coeficientes da equação do plano. Para um plano
, o vetor normal é
. Então, para nosso plano:
Mas precisamos garantir que a componente
não seja negativa. Como
é positivo, estamos tranquilos!
Passo 4
O próximo passo é calcular o elemento de área
. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais da nossa função
:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de superfície. Temos:
Mas como
já está normalizado pelo
, simplificamos:
Substituindo
pela expressão encontrada:
Interessante! A expressão simplifica para 12.
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Onde
é a região no plano
com
e
.
Passo 7
Calculando a área de
, que é um retângulo:
Então:
Resposta
O valor da integral de superfície é 30.
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, represente o número
, se possível, usando Arredondamento e truncamento.
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