integral1 / 2^e / 2 t ln 2 t d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida integral12^e2 t ln(2t) , dt. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar funções que são produtos de outras funções, como aqui, onde temos t multiplicado por ln(2t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u e dv. Normalmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivada, e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(2t) dv = t , dt
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
Primeiro, derivamos u:
du = ddt [ln(2t)] , dt = 12t cdot 2 , dt = 1t , dt
Em seguida, integramos dv para encontrar v:
v = integral t , dt = t^22

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo as partes que encontramos:
integral ln(2t) cdot t , dt = ln(2t) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t , dt
Simplificando a segunda integral:
= t^22 ln(2t) - 12 integral t , dt

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral t , dt = t^22 + C
Substituindo de volta:
= t^22 ln(2t) - 12 cdot t^22 + C = t^22 ln(2t) - t^24 + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 12 a e2:
[ t^22 ln(2t) - t^24 ]12^e2
Calculamos primeiro para t = e2:
(e2)^22 ln(2 cdot e2) - (e2)^24 = e^28 ln(e) - e^216 = e^28 cdot 1 - e^216 = e^28 - e^216 = e^216
Agora para t = 12:
(12)^22 ln(2 cdot 12) - (12)^24 = 18 ln(1) - 116 = 0 - 116 = -116

Resposta

Subtraindo os valores:
e^216 - (-116) = e^2 + 116
Portanto, o valor da integral é e^2 + 116.

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