integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla aí! O enunciado é:
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 y , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, um tópico de cálculo que nos ajuda a calcular o volume sob uma superfície sobre uma determinada região. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções em duas dimensões e interpretar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração. A variável vai de -3 a 3, e para cada , vai de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre a metade superior de um círculo de raio 3, já que é a equação da semicircunferência superior.

Passo 3

Agora, vamos lidar com a integração interna, que é em relação a integral0^raiz9-x^2 y , dy :
A função a ser integrada é . A antiderivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando os limites de integração para [ 12 y^2 ]0^raiz9 - x^2 = 12 ( ( raiz9 - x^2 )^2 - 0^2 ) = 12 (9 - x^2) :
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
integral-3^3 12 (9 - x^2) , dx = 12 integral-3^3 (9 - x^2) , dx
Podemos tirar o para fora da integral.

Passo 6

Vamos integrar integral (9 - x^2) , dx = 9x - 13 x^3 + C em relação a :

Passo 7

Aplicando os limites de -3 a 3:
[ 9x - 13 x^3 ]-3^3 = ( 9(3) - 13(3)^3 ) - ( 9(-3) - 13(-3)^3 )
Calculando cada parte:
Para 9(3) - 13(27) = 27 - 9 = 18 :
9(-3) - 13(-27) = -27 + 9 = -18
Para 18 - (-18) = 36 :
Então:

Passo 8

Agora, lembrando do 12 times 36 = 18 que tiramos para fora:

Resposta

18

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