Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla aí! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, um tópico de cálculo que nos ajuda a calcular o volume sob uma superfície sobre uma determinada região. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções em duas dimensões e interpretar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração. A variável vai de -3 a 3, e para cada , vai de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre a metade superior de um círculo de raio 3, já que é a equação da semicircunferência superior.

Passo 3

Agora, vamos lidar com a integração interna, que é em relação a :
A função a ser integrada é . A antiderivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando os limites de integração para :
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
Podemos tirar o para fora da integral.

Passo 6

Vamos integrar em relação a :

Passo 7

Aplicando os limites de -3 a 3:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:

Passo 8

Agora, lembrando do que tiramos para fora:

Resposta

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