Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla aí! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, um tópico de cálculo que nos ajuda a calcular o volume sob uma superfície sobre uma determinada região. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções em duas dimensões e interpretar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os limites de integração. A variável
vai de -3 a 3, e para cada
,
vai de 0 até
. Isso significa que estamos integrando sobre a metade superior de um círculo de raio 3, já que
é a equação da semicircunferência superior.
Passo 3
Agora, vamos lidar com a integração interna, que é em relação a
:
A função a ser integrada é
. A antiderivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Aplicando os limites de integração para
:
Então, a integral interna simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
Podemos tirar o
para fora da integral.
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 7
Aplicando os limites de -3 a 3:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 8
Agora, lembrando do
que tiramos para fora: