integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x^2+y^2) dy dx. Essa questão envolve cálculo de integrais duplas sobre uma região circular. Para facilitar, vamos precisar usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites de x são de -1 a 1 e, para cada x, y varia de -raiz1-x^2 a raiz1-x^2. Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, a função integranda é x^2 + y^2. Sabemos que em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta. Assim, x^2 + y^2 = r^2. Além disso, o elemento de área dy dx se transforma em r dr dtheta.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

O valor da integral dupla é dfracpi2.

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