Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, e para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Precisaremos entender como fazer essa mudança de coordenadas e calcular o jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Nas coordenadas polares,
e
. A expressão
vira
, o que simplifica a integral.
Passo 3
Além disso, ao mudarmos para coordenadas polares, precisamos multiplicar a função pela Jacobiana da transformação, que é
. Portanto, a integral passa a ser:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O domínio original é
e
, que representa um quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante. Em polares, isso corresponde a
e
.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares com os novos limites:
Primeiro, integramos em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.