Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, e para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Precisaremos entender como fazer essa mudança de coordenadas e calcular o jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Nas coordenadas polares, e . A expressão vira , o que simplifica a integral.

Passo 3

Além disso, ao mudarmos para coordenadas polares, precisamos multiplicar a função pela Jacobiana da transformação, que é . Portanto, a integral passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O domínio original é e , que representa um quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante. Em polares, isso corresponde a e .

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares com os novos limites:
Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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