Mostre que se
for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.
Passo 1
Entendendo o problema: Temos uma sequência ilimitada
, ou seja, uma sequência que não está contida em nenhum intervalo finito da reta real. Queremos mostrar que, nessa sequência, existe uma subsequência que diverge, ou seja, uma subsequência que não converge para nenhum número real específico.
Conteúdo envolvido: Vamos usar conceitos de sequências ilimitadas, subsequências e divergência. Precisaremos entender o que significa uma sequência ser ilimitada e como extrair uma subsequência a partir dela.
Passo 2
Sequência ilimitada: Uma sequência
é ilimitada se, para todo número real
, existe um termo da sequência tal que
. Isso significa que a sequência “escapa” para o infinito em alguma direção (positiva ou negativa).
Passo 3
Extrair uma subsequência divergente: Queremos construir uma subsequência
que diverge. Para isso, vamos escolher termos da sequência original que vão além de limites cada vez maiores, garantindo que a subsequência não tenha um limite finito.
Passo 4
Construção passo a passo:
-
Escolha de
: Definimos uma sequência crescente de números positivos, por exemplo, , onde é um número natural que aumenta indefinidamente. -
Seleção dos termos: Para cada
, como a sequência é ilimitada, existe pelo menos um índice tal que . -
Garantia de crescente: Escolhemos os índices
de forma que para manter a ordem da sequência.
Passo 5
Conclusão da divergência: A subsequência
construída satisfaz que
para todo
. Isso significa que, conforme
aumenta, os termos da subsequência crescem sem limite, ou seja,
. Portanto, a subsequência diverge.
Resposta
Assim, demonstramos que toda sequência ilimitada
possui pelo menos uma subsequência
que diverge, ou seja, que não converge para nenhum número real específico.
Exercícios relacionados
Seja
. Defina a sequência
, pondo
e
. Prove que
é convergente e calcule seu limite
Prove que
.
Suponha que
seja uma sequência tal que
, para todo
. Mostre que
, se e somente se,
.
A integral iterada
vale
Escolha uma opção:
1
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