Mostre que se for uma sequência ilimitada, então, ela admite uma subsequência divergente.

Passo 1

Entendendo o problema: Temos uma sequência ilimitada , ou seja, uma sequência que não está contida em nenhum intervalo finito da reta real. Queremos mostrar que, nessa sequência, existe uma subsequência que diverge, ou seja, uma subsequência que não converge para nenhum número real específico.
Conteúdo envolvido: Vamos usar conceitos de sequências ilimitadas, subsequências e divergência. Precisaremos entender o que significa uma sequência ser ilimitada e como extrair uma subsequência a partir dela.

Passo 2

Sequência ilimitada: Uma sequência é ilimitada se, para todo número real , existe um termo da sequência tal que . Isso significa que a sequência “escapa” para o infinito em alguma direção (positiva ou negativa).

Passo 3

Extrair uma subsequência divergente: Queremos construir uma subsequência que diverge. Para isso, vamos escolher termos da sequência original que vão além de limites cada vez maiores, garantindo que a subsequência não tenha um limite finito.

Passo 4

Construção passo a passo:
  1. Escolha de : Definimos uma sequência crescente de números positivos, por exemplo, , onde é um número natural que aumenta indefinidamente.
  2. Seleção dos termos: Para cada , como a sequência é ilimitada, existe pelo menos um índice tal que .
  3. Garantia de crescente: Escolhemos os índices de forma que para manter a ordem da sequência.

Passo 5

Conclusão da divergência: A subsequência construída satisfaz que para todo . Isso significa que, conforme aumenta, os termos da subsequência crescem sem limite, ou seja, . Portanto, a subsequência diverge.

Resposta

Assim, demonstramos que toda sequência ilimitada possui pelo menos uma subsequência que diverge, ou seja, que não converge para nenhum número real específico.

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Seja . Defina a sequência , pondo e . Prove que é convergente e calcule seu limite
Prove que .
Suponha que seja uma sequência tal que , para todo . Mostre que , se e somente se, .
A integral iterada vale
Escolha uma opção:




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