integral0^1 x sen^-1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Isso vai nos ajudar a simplificar a integral que tem o produto de duas funções: e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos permite separar a integral original em partes que são mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u = arcsin(x) e dv = x , dx e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada. Nesse caso, vamos escolher:

Passo 4

Com du = 1raiz1 - x^2 , dx , derivamos para encontrar v = x^22 :
E, integrando , encontramos :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^1 x arcsin(x) , dx = x^22 arcsin(x) |0^1 - integral0^1 x^22 cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Aqui, dividimos a integral original em duas partes: uma que envolve avaliado nos limites e outra que é uma nova integral para resolver.

Passo 6

Vamos calcular o termo x^22 arcsin(x) |0^1 = 1^22 arcsin(1) - 0^22 arcsin(0) = 12 cdot pi2 - 0 = pi4 :
Sabemos que e .

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral0^1 x^22 raiz1 - x^2 , dx
Fazendo uma substituição, seja , então . Ajustando a integral, conseguimos integrá-la e encontrar o valor.

Resposta

Após resolver todas as etapas, a integral é igual a .

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