integral 4 traiz4 t^2+5 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral do tipo . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente, uso de substituição para resolver integrais que têm uma função dentro de uma raiz quadrada. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que pode simplificar a integral. Olhe para a expressão dentro da raiz: . Se fizermos , a derivada de em relação a será , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos rearrumar para encontrar dt = du8t em termos de 4t , dt = 4t , du8t = du2 . Da equação , podemos isolar :
Mas na nossa integral original temos . Vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos integral 4traiz4t^2+5 dt = integral 1raizu cdot 12 du = 12 integral u^-1/2 du e na integral original:
Aqui, simplificamos a integral em termos de .

Passo 5

Vamos agora integrar 12 integral u^-1/2 du = 12 cdot ( 2u^1/2 ) + C = u^1/2 + C :
A constante é adicionada porque estamos fazendo uma integração indefinida.

Passo 6

Finalmente, voltamos para a variável original u^1/2 + C = raiz4t^2 + 5 + C substituindo :

Resposta

A integral de é , onde é a constante de integração.

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