integral 2 sen x-cos xcos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, especificamente à simplificação de expressões algébricas antes de integrar. Para resolver, vamos precisar manipular a fração algébrica e aplicar conhecimentos básicos de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Podemos separar a fração em duas partes:
Simplificando cada termo:
Sabemos que . Então, a expressão fica:
2 sen x - cos xcos x

Passo 3

Agora, nossa integral ficou mais simples:
integral (2 tan x - 1) , dx
Vamos separar a integral em duas partes:
integral 2 tan x , dx - integral 1 , dx

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, integral 2 tan x , dx = 2 integral tan x , dx = 2 (-ln|cos x|) = -2 ln|cos x| :
Sabemos que a integral de é . Então:

Passo 5

Agora, a segunda parte: integral 1 , dx = x :
A integral de 1 em relação a é simplesmente :

Passo 6

Juntando as duas partes que integramos:
-2 ln|cos x| - x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
-2 ln|cos x| - x + C

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