lim x 0^+ x^x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pelo lado positivo. Isso envolve o conteúdo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar logaritmos e algumas regras de limites.

Passo 2

Primeiro, para facilitar, vamos transformar usando o logaritmo natural. Sabemos que . Isso nos ajuda a lidar melhor com a expressão quando está se aproximando de 0.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de limx to 0^+ x ln(x) quando tende a 0 pelo lado positivo:
Aqui, tende a enquanto tende a 0, então temos uma forma tipo , que é indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma divisão.

Passo 4

Reescrevendo, temos:
limx to 0^+ ln(x)1/x
Agora, essa é uma forma indeterminada do tipo , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos em uma forma indeterminada, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Derivando o numerador e o denominador:
f(x) = ln(x) Rightarrow f'(x) = 1x
g(x) = 1x Rightarrow g'(x) = -1x^2
Então, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to 0^+ 1x-1x^2 = limx to 0^+ -x = 0

Passo 6

Então, voltando à nossa expressão original:
limx to 0^+ x ln(x) = 0
Portanto:
limx to 0^+ x^x = limx to 0^+ e^x ln(x) = e^0 = 1

Resposta

limx 0^+ x^x = 1

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