integral0^3 integral0^3-y(x^2+2 y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla definida por . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar calcular duas integrais: primeiro, integrar em relação a , e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral (x^2 + 2y) , dx = integral x^2 , dx + integral 2y , dx . Aqui, tratamos integral x^2 , dx = x^33 como uma constante porque estamos integrando em relação a integral 2y , dx = 2y cdot x .
Vamos dividir a integral em duas partes:
x^33 + 2y cdot x avaliada de 0 até 3 - y
Integrando cada termo:
Então, a integral interna fica:
é

Passo 3

Agora, vamos substituir os limites de integração na expressão que obtivemos:
( (3 - y)^33 + 2y cdot (3 - y) ) - ( 0^33 + 2y cdot 0 )
Simplificando:
(3 - y)^33 + 2y(3 - y)
Agora, essa expressão será usada na integral externa:
integral0^3 ( (3 - y)^33 + 2y(3 - y) ) dy

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3 - y)^33 + 2y(3 - y) = (27 - 27y + 9y^2 - y^3)3 + 6y - 2y^2
Dividindo cada termo por 3:
9 - 9y + 3y^2 - y^33 + 6y - 2y^2
Agora, combinando termos semelhantes:
9 - 3y + y^2 - y^33
Então, a integral fica:
integral0^3 ( 9 - 3y + y^2 - y^33 ) dy

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 9 , dy = 9y
integral -3y , dy = -3y^22
integral y^2 , dy = y^33
integral -y^33 , dy = -y^412
Então, a integral avaliada de 0 a 3 é:
(9y - 3y^22 + y^33 - y^412) g|0^3

Passo 6

Substituindo 9(3) - 3(3)^22 + (3)^33 - (3)^412 = 27 - 272 + 9 - 8112 :
27 - 13,5 + 9 - 6,75 = 15,75
Simplificando:
Substituindo , todos os termos são zero.

Resposta

15,75

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