Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que servem para encontrar o volume sob uma superfície ou calcular áreas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos primeiro integrar a função em relação a , mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos integrar com respeito a no intervalo de a . Lembrando que quando integramos com relação a , tratamos como uma constante. A integral fica assim:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Agora, substituímos os limites de integração:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão antes de integrar com relação a 2x(2 - x) = 4x - 2x^2 :
32 (2 - x)^2 = 32 (4 - 4x + x^2) = 6 - 6x + 32x^2
4x - 2x^2 + 6 - 6x + 32x^2 = 6 - 2x - 12x^2
Juntando tudo:
integral0^2 (6 - 2x - 12x^2) , dx
Agora, integramos essa expressão em relação a integral 6 , dx = 6x de integral (-2x) , dx = -x^2 a integral (-12x^2) , dx = -16x^3 :