integral0^2 integral0^2-x(2 x+3 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que servem para encontrar o volume sob uma superfície ou calcular áreas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos primeiro integrar a função em relação a , mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral0^2-x (2x + 3y) , dy com respeito a integral (2x) , dy = 2x cdot y no intervalo de integral (3y) , dy = 32 y^2 a 2x cdot y + 32 y^2 |0^2-x . Lembrando que quando integramos com relação a 2x(2 - x) + 32 (2 - x)^2 - (2x cdot 0 + 32 cdot 0^2) , tratamos 2x(2 - x) + 32 (2 - x)^2 como uma constante. A integral fica assim:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Agora, substituímos os limites de integração:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão antes de integrar com relação a 2x(2 - x) = 4x - 2x^2 :
32 (2 - x)^2 = 32 (4 - 4x + x^2) = 6 - 6x + 32x^2
4x - 2x^2 + 6 - 6x + 32x^2 = 6 - 2x - 12x^2
Juntando tudo:
integral0^2 (6 - 2x - 12x^2) , dx
Agora, integramos essa expressão em relação a integral 6 , dx = 6x de integral (-2x) , dx = -x^2 a integral (-12x^2) , dx = -16x^3 :
6x - x^2 - 16x^3 |0^2
Integrando termo a termo:
6(2) - (2)^2 - 16(2)^3 - (6(0) - (0)^2 - 16(0)^3)
12 - 4 - 86 = 8 - 43 = 243 - 43 = 203
Então, a integral fica:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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