integral raiz1x-1 d xx^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da raiz: u = 1x - 1 . Pode ser útil fazer uma substituição para simplificar isso. Vamos definir uma nova variável igual a .
Então, seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dudx = -1x^2 . Para isso, vamos derivar du = -1x^2 dx em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos dxx^2 = -du . Podemos rearranjar a expressão que encontramos para para expressar :

Passo 5

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
integral raiz1x - 1 dxx^2 = integral raizu cdot (-du) = -integral raizu , du

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^1/2 du = 23 u^3/2 + C . Sabemos que:
-integral raizu , du = -23 u^3/2 + C
Então:

Passo 7

Por fim, substituímos -23 ( 1x - 1 )^3/2 + C de volta pela expressão original:

Resposta

A integral é igual a .

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