integral x^3 d xraiz1+x^2;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular a integral de em relação a . Esse tipo de integral envolve técnicas de substituição, onde substituímos uma parte da expressão por uma variável nova para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que possa simplificar a integral. Observando o denominador , uma boa opção é definir . Isso vai ajudar a transformar a integral em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Com a substituição dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 , vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição integral x^3raiz1 + x^2 , dx = integral x^3raizu , dx :
integral (u - 1) cdot xraizu , dx
Sabemos que integral (u - 1)raizu cdot du2 = 12 integral u - 1raizu , du , então podemos substituir:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
u - 1raizu = uraizu - 1raizu = u^1/2 - u^-1/2
Agora, a integral fica:
12 integral ( u^1/2 - u^-1/2 ) du

Passo 6

Vamos integrar termo por termo:
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
integral u^-1/2 , du = u^1/212 = 2 u^1/2
Portanto,
12 ( 23 u^3/2 - 2 u^1/2 ) = 13 u^3/2 - u^1/2

Passo 7

Agora, vamos substituir 13 (1 + x^2)^3/2 - (1 + x^2)^1/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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