integral x raiz(x^2+1)^1 / 2+1raizx^2+1 d x;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O enunciado pede para calcular a integral:
integral x raiz(x^2+1)^1 / 2+1raizx^2+1 , dx
Esse exercício envolve cálculo integral e especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a manipulação. Observe que temos:
xraizx^2+1 times raizraizx^2+1 + 1
Vamos garantir que a gente entende cada parte:
  • xraizx^2+1 é uma fração que envolve x e raizx^2+1.
  • raizraizx^2+1 + 1 é a raiz quadrada de uma soma que inclui outra raiz quadrada.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável u que representa uma parte complicada da expressão:
u = raizx^2 + 1
Isso significa que u = (x^2 + 1)^1/2. Essa substituição vai nos ajudar a tornar a integral mais simples.

Passo 4

Com u = raizx^2 + 1, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral:
dudx = ddx ( x^2 + 1 )^1/2 = 12 ( x^2 + 1 )^-1/2 times 2x = xraizx^2 + 1
Então, podemos reescrever dx em termos de du:
dx = raizx^2 + 1x , du

Passo 5

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral x raizraizx^2+1 + 1raizx^2+1 , dx = integral x raizu + 1raizx^2+1 times raizx^2 + 1x , du
Perceba que xraizx^2+1 times raizx^2 + 1x = 1, então a integral simplifica para:
integral raizu + 1 , du

Passo 6

Agora, temos uma integral bem mais simples:
integral raizu + 1 , du
Isso pode ser reescrito como:
integral (u + 1)^1/2 , du
Vamos integrar essa expressão. A regra básica de integração para potenciais é:
integral (u + a)^n , du = (u + a)^n+1n+1 + C
onde n neq -1.

Passo 7

Aplicando a regra de integração, temos:
integral (u + 1)^1/2 , du = (u + 1)^3/23/2 + C = 23 (u + 1)^3/2 + C

Passo 8

Agora, vamos lembrar que fizemos a substituição u = raizx^2 + 1. Vamos substituir u de volta na expressão:
23 ( raizx^2 + 1 + 1 )^3/2 + C

Resposta

A integral avaliada é:
23 ( raizx^2 + 1 + 1 )^3/2 + C

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