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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O enunciado pede para calcular a integral:
Esse exercício envolve cálculo integral e especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a manipulação. Observe que temos:
Vamos garantir que a gente entende cada parte:
-
é uma fração que envolve e . -
é a raiz quadrada de uma soma que inclui outra raiz quadrada.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável
que representa uma parte complicada da expressão:
Isso significa que
. Essa substituição vai nos ajudar a tornar a integral mais simples.
Passo 4
Com
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral:
Então, podemos reescrever
em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Perceba que
, então a integral simplifica para:
Passo 6
Agora, temos uma integral bem mais simples:
Isso pode ser reescrito como:
Vamos integrar essa expressão. A regra básica de integração para potenciais é:
onde
.
Passo 7
Aplicando a regra de integração, temos:
Passo 8
Agora, vamos lembrar que fizemos a substituição
. Vamos substituir
de volta na expressão:
Resposta
A integral avaliada é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 28.
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