integral raiz2 x+1 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral integral raiz2x + 1 , dx. Essa é uma integral que envolve uma raiz quadrada, e para resolver, vamos usar um método chamado substituição. A substituição ajuda a simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a parte dentro da raiz. Vamos chamar de u a expressão 2x + 1. Então:
u = 2x + 1
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral. Derivando u:
dudx = 2 Rightarrow dx = du2
Então, substituímos dx por du2 na integral.

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral raiz2x + 1 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Agora, a integral ficou mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^1/2 , du. Lembrando que a integral de u^n em relação a u é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial ( u = 2x + 1), substituímos u de volta na expressão:
12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 (2x + 1)^3/2 + C

Resposta

Então, a solução da integral é:
integral raiz2x + 1 , dx = 13 (2x + 1)^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

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