integral0^1 xx^2+9 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição . Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma expressão dentro da integral que pode ser substituída por uma nova variável u = x^2 + 9 . Observamos que o denominador é , então vamos definir:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a du2 = x , dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos na integral original os termos em integral xx^2+9 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du por :

Passo 5

A integral de 12 ln|u| + C em relação a é . Então temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original 12 ln(x^2 + 9) + C , substituímos por :

Passo 7

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 1, avaliamos o resultado nos limites de integração:
[ 12 ln(x^2 + 9) ]0^1 = 12 ln(1^2 + 9) - 12 ln(0^2 + 9)
= 12 (ln10 - ln9) = 12 ln(109)

Resposta

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