Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de integração que envolvem substituição. Para resolver isso, vamos precisar achar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar a raiz quadrada que está dentro da integral. Uma boa dica é fazer uma substituição que torne a parte dentro da raiz mais simples. Vamos definir . Essa escolha vai facilitar nossa vida porque a raiz vai ficar em função de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de para substituir na integral. Derivando , temos:
Isso significa que é igual a , o que vai simplificar nossa substituição.

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Sabemos que , então . Substituindo na integral:
Agora, a integral está toda em termos de .

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
Isso vira:
Aqui usamos que .

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separado:
e
Juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de é igual a:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada: