Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de integração que envolvem substituição. Para resolver isso, vamos precisar achar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como simplificar a raiz quadrada que está dentro da integral. Uma boa dica é fazer uma substituição que torne a parte dentro da raiz mais simples. Vamos definir
. Essa escolha vai facilitar nossa vida porque a raiz vai ficar em função de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
para substituir na integral. Derivando
, temos:
Isso significa que
é igual a
, o que vai simplificar nossa substituição.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Sabemos que
, então
. Substituindo na integral:
Agora, a integral está toda em termos de
.
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
Isso vira:
Aqui usamos que
.
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separado:
e
Juntando tudo:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral de
é igual a:
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Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
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