integral x raizx-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de integração que envolvem substituição. Para resolver isso, vamos precisar achar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar a raiz quadrada que está dentro da integral. Uma boa dica é fazer uma substituição que torne a parte dentro da raiz mais simples. Vamos definir . Essa escolha vai facilitar nossa vida porque a raiz vai ficar em função de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 1 Rightarrow du = dx em termos de para substituir na integral. Derivando , temos:
Isso significa que é igual a , o que vai simplificar nossa substituição.

Passo 4

Vamos substituir integral x raizx-1 , dx = integral (u + 1) raizu , du e na integral original. Sabemos que , então . Substituindo na integral:
Agora, a integral está toda em termos de .

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
integral (u + 1) raizu , du = integral u raizu , du + integral raizu , du
Isso vira:
integral u^3/2 , du + integral u^1/2 , du
Aqui usamos que .

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separado:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2
e
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
Juntando tudo:
25 u^5/2 + 23 u^3/2 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos para a variável original 25 (x - 1)^5/2 + 23 (x - 1)^3/2 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de 25 (x - 1)^5/2 + 23 (x - 1)^3/2 + C é igual a:

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