integral raiz[3]8((t-2)^6(t+1 / 3)^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral raiz[3]8((t-2)^6(t+13)^3) , dt
Esse exercício envolve funções algébricas e potências fracionárias, especificamente raízes cúbicas. Para resolver, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica e depois integrar o resultado. Vamos precisar conhecer propriedades de potências e como simplificar expressões antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica:
raiz[3]8((t-2)^6(t+13)^3)
Sabemos que a raiz cúbica de um produto é igual ao produto das raízes cúbicas, então podemos separar:
raiz[3]8 cdot raiz[3](t-2)^6 cdot raiz[3](t+13)^3

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte separadamente:
  1. raiz[3]8: Sabemos que 8 = 2^3, então a raiz cúbica de 8 é 2.
    raiz[3]8 = 2
  2. raiz[3](t-2)^6: Aplicando a propriedade das potências, raiz[3]a^b = a^b/3.
    raiz[3](t-2)^6 = (t-2)^6/3 = (t-2)^2
  3. raiz[3](t+13)^3: A raiz cúbica e o cubo se cancelam.
    raiz[3](t+13)^3 = t + 13

Passo 4

Agora, substituímos esses resultados de volta na expressão original:
raiz[3]8((t-2)^6(t+13)^3) = 2 cdot (t-2)^2 cdot (t + 13)
Vamos multiplicar os termos:
2 cdot (t-2)^2 cdot (t + 13)

Passo 5

Antes de integrar, vamos expandir a expressão para facilitar a integração:
Primeiro, expanda (t-2)^2:
(t-2)^2 = t^2 - 4t + 4
Agora, multiplique por (t + 13):
(t^2 - 4t + 4)(t + 13) = t^3 + 13t^2 - 4t^2 - 43t + 4t + 43
Simplificando termos semelhantes:
t^3 + (13t^2 - 4t^2) + (-43t + 4t) + 43 = t^3 - 113t^2 + 83t + 43
Agora, multiplicamos por 2:
2 cdot (t^3 - 113t^2 + 83t + 43) = 2t^3 - 223t^2 + 163t + 83

Passo 6

Agora, temos a integral simplificada:
integral (2t^3 - 223t^2 + 163t + 83) , dt
Vamos integrar termo a termo, lembrando que a integral de t^n é t^n+1n+1.

Passo 7

Integrando cada termo:
  1. integral 2t^3 , dt:
    2 cdot t^44 = 24t^4 = 12t^4
  2. integral -223t^2 , dt:
    -223 cdot t^33 = -229t^3
  3. integral 163t , dt:
    163 cdot t^22 = 166t^2 = 83t^2
  4. integral 83 , dt:
    83t

Passo 8

Agora, somamos todas as integrais:
12t^4 - 229t^3 + 83t^2 + 83t + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral avaliada é:
12t^4 - 229t^3 + 83t^2 + 83t + C

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