integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais e como fazer substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável mais simples. Olha só, dentro da integral tem e também . Isso sugere que a gente pode usar uma substituição para facilitar.

Passo 3

Vamos chamar de . Então, . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 4

Calculando a derivada de dudt = ddt(e^2 t + 2) = 2 e^2 t :
Isso significa que , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos substituir na integral original:
integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t , dt = integral u^1/3 cdot 12 , du = 12 integral u^1/3 , du
Simplificamos a integral para ficar mais fácil de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^1/3 , du = u^4/34/3 = 34 u^4/3 em relação a 12 cdot 34 u^4/3 = 38 u^4/3 :
Então, multiplicando pela constante que já tínhamos:

Passo 7

Por fim, voltamos a substituir 38 (e^2 t + 2)^4/3 + C pela expressão original :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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