integral(raiz[3]x+1raiz[3]x) d x

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que temos aqui é uma integral: integral(raiz[3]x+1raiz[3]x) d x. O conteúdo que estamos lidando é sobre integrais, especificamente integrais indefinidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de integrais e algumas regras básicas de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a nossa integral. Podemos quebrar a integral em duas partes porque a integral da soma é a soma das integrais. Dessa forma, temos:
integral(raiz[3]x+1raiz[3]x) d x = integral raiz[3]x , dx + integral 1raiz[3]x , dx
Agora, precisamos relembrar como integrar funções que estão na forma de raízes e potências.

Passo 3

A integral da função raiz[3]x pode ser reescrita como x^1/3. A regra de integração diz que para uma função da forma x^n, a integral é dada por:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Então, aplicando isso, temos:
integral raiz[3]x , dx = integral x^1/3 , dx = x^1/3 + 11/3 + 1 + C = x^4/34/3 + C = 34 x^4/3 + C
Agora, vamos para a segunda parte da integral: integral 1raiz[3]x , dx. Isso pode ser reescrito como integral x^-1/3 , dx. Usando a mesma regra de integração, temos:
integral x^-1/3 , dx = x^-1/3 + 1-1/3 + 1 + C = x^2/32/3 + C = 32 x^2/3 + C

Passo 4

Agora, juntando tudo, nossas integrais ficaram assim:
  1. Para raiz[3]x: 34 x^4/3 + C1
  2. Para 1raiz[3]x: 32 x^2/3 + C2
Como estamos lidando com uma integral indefinida, podemos combinar as constantes de integração, então a expressão final da integral vai ser:
integral(raiz[3]x+1raiz[3]x) d x = 34 x^4/3 + 32 x^2/3 + C

Resposta

A resposta final da integral é: 34 x^4/3 + 32 x^2/3 + C.

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