integral 3 tg theta-4 cos ^2 thetacos theta d theta

Passo 1

Vamos primeiro entender o que está sendo pedido. Temos uma integral que precisamos resolver: integral 3 tg theta-4 cos ^2 thetacos theta d theta. O conteúdo aqui está relacionado a integrais, particularmente a integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver essa integral, precisamos entender como simplificá-la e, em seguida, aplicá-la corretamente.

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é simplificar a expressão dentro da integral. Note que a tg theta pode ser escrita como sin thetacos theta. Então, vamos substituir isso:
3 tg theta - 4 cos^2 thetacos theta = 3 sin thetacos theta - 4 cos^2 thetacos theta
Isso simplifica para:
3 sin theta - 4 cos^3 thetacos^2 theta
Agora podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
integral 3 sin theta - 4 cos^3 thetacos^2 theta d theta

Passo 3

Podemos separar a integral em duas partes:
integral 3 sin thetacos^2 theta d theta - integral 4 cos^3 theta sec^2 theta d theta
Lembre-se que sec theta = 1cos theta, portanto sec^2 theta = 1cos^2 theta. Assim, vamos agora resolver cada uma dessas integrais separadamente.
A primeira integral integral 3 sin thetacos^2 theta d theta pode ser resolvida através de uma substituição. Vamos chamar u = cos(theta), então du = -sin(theta) dtheta. Assim, temos:
integral -3u^2 du = 3 u^-1 + C = 3cos theta + C
Para a segunda integral integral 4 cos^3 theta sec^2 theta d theta que, ao fazer a mesma substituição, se transforma em:
integral 4 cos^3 theta cdot 1cos^2 theta d theta = integral 4 cos theta d theta
Integrando, temos:
4 sin theta + C

Passo 4

Agora juntamos os resultados das duas integrais:
3cos theta - 4 sin theta + C
Para finalizar, lembre-se que estamos trabalhando com integrais, então sempre adicionamos uma constante de integração C ao final.

Resposta

A integral integral 3 tg theta - 4 cos^2 thetacos theta d theta resulta em 3cos theta - 4 sin theta + C.

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