Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de . Aqui, estamos lidando com cálculos de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de o que está dentro da raiz quadrada. Então, definimos:
Isso ajuda a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir na integral. A derivada de é , que é igual a . Então:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. A integral fica:
Note que se cancela, simplificando bastante a expressão.

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
Sabemos que . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir de volta em termos de :
Essa é a expressão final da integral.

Resposta

A integral é igual a .

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Mostre que as igualdades são verdadeiras.