integral raiz4+tan xcos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão é calcular a integral de raiz4+tan xcos^2 x d x. Aqui, estamos lidando com cálculos de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de u o que está dentro da raiz quadrada. Então, definimos:
u = 4 + tan x
Isso ajuda a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir na integral. A derivada de tan x é sec^2 x, que é igual a 1cos^2 x. Então:
dudx = 1cos^2 x
Isso nos dá:
dx = cos^2 x , du

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original. A integral fica:
integral raizucos^2 x cdot cos^2 x , du = integral raizu , du
Note que cos^2 x se cancela, simplificando bastante a expressão.

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integral raizu , du
Sabemos que raizu = u^1/2. A integral de u^1/2 em relação a u é:
23 u^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir u de volta em termos de x:
23 (4 + tan x)^3/2 + C
Essa é a expressão final da integral.

Resposta

A integral é igual a 23 (4 + tan x)^32 + C.

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