Mostre que as igualdades são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa mostrar que a soma infinita é igual a . Para resolver isso, vamos usar um método chamado frações parciais, que ajuda a simplificar frações mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão geral da soma. Cada termo da sequência pode ser escrito como , onde começa em 1 e vai aumentando infinitamente. Nosso objetivo é somar todos esses termos e verificar se o resultado realmente dá .

Passo 3

Agora, vamos aplicar as frações parciais para simplificar . A ideia é quebrar essa fração em duas partes mais simples. Vamos supor que:
Nosso trabalho é encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade. Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, podemos escolher valores de que facilitem encontrar e . Por exemplo, se :
E se :
Então, substituindo de volta, temos:

Passo 4

Com essa expressão simplificada, vamos reescrever a soma original usando as frações parciais:
Isso pode ser separado em duas somas:
Observe que a segunda soma é praticamente a mesma que a primeira, mas começando em . Isso faz com que muitas partes se cancelem quando somamos os termos, conhecido como uma série telescópica.
Ao calcular os termos, perceberemos que apenas os primeiros dois termos da primeira soma permanecem, enquanto os demais se cancelam:

Resposta

Portanto, a soma infinita realmente é igual a .

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