integral 7 x+4(x^2+2 x+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma integração de frações racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral quebrando-a em partes menores e mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O denominador é .
Perceba que pode ser escrito como . Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, vamos supor que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
7x + 4(x + 1)^2(x - 1)^2 = Ax + 1 + B(x + 1)^2 + Cx - 1 + D(x - 1)^2
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 7x + 4 = A(x + 1)(x - 1)^2 + B(x - 1)^2 + C(x + 1)^2(x - 1) + D(x + 1)^2 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, para encontrar os valores de 7(-1) + 4 = A(0)(-2)^2 + B(-2)^2 + C(0) + D(0) , -7 + 4 = 4B , -3 = 4B implies B = -34 e , podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação.
Primeiro, vamos escolher :

Passo 6

Em seguida, escolhemos 7(1) + 4 = A(2)(0)^2 + B(0)^2 + C(2)^2(0) + D(2)^2 :
7 + 4 = 4D
11 = 4D implies D = 114

Passo 7

Agora, vamos derivar a equação original para encontrar 7x + 4 = A(x + 1)(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - 2x + 1) + C(x^2 + 2x + 1)(x - 1) + D(x^2 + 2x + 1) e A + C = 0 . Primeiramente, expanda o lado direito da equação:
-2A + 2C = 7
Expandindo e agrupando termos de mesma potência, podemos igualar os coeficientes.
Após simplificar, obtemos um sistema de equações:
-2A + 2(-A) = 7 implies -4A = 7 implies A = -74
C = -A = 74
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda:

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
A = -74, B = -34, C = 74, D = 114
Substituindo de volta na decomposição de frações parciais:
7x + 4(x + 1)^2(x - 1)^2 = -74x + 1 + -34(x + 1)^2 + 74x - 1 + 114(x - 1)^2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 7x + 4(x + 1)^2(x - 1)^2 , dx = -74 integral 1x + 1 , dx - 34 integral 1(x + 1)^2 , dx + 74 integral 1x - 1 , dx + 114 integral 1(x - 1)^2 , dx

Passo 10

Integrando cada termo:
-74 ln|x + 1| + 34 cdot 1x + 1 + 74 ln|x - 1| - 114 cdot 1x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral 7x + 4(x^2 + 2x + 1)(x - 1)^2 , dx = -74 ln|x + 1| + 34(x + 1) + 74 ln|x - 1| - 114(x - 1) + C

Exercícios relacionados