Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com uma integração de frações racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral quebrando-a em partes menores e mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O denominador é .
Perceba que pode ser escrito como . Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, vamos supor que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, para encontrar os valores de , , e , podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação.
Primeiro, vamos escolher :

Passo 6

Em seguida, escolhemos :

Passo 7

Agora, vamos derivar a equação original para encontrar e . Primeiramente, expanda o lado direito da equação:
Expandindo e agrupando termos de mesma potência, podemos igualar os coeficientes.
Após simplificar, obtemos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda:

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
Substituindo de volta na decomposição de frações parciais:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 10

Integrando cada termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Exercícios relacionados

Mostre que as igualdades são verdadeiras.