Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Aqui, estamos lidando com uma integração de frações racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integral quebrando-a em partes menores e mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. O denominador é
.
Perceba que
pode ser escrito como
. Então, o denominador fica
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fração pode ser decomposta da seguinte forma:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, para encontrar os valores de
,
,
e
, podemos escolher valores específicos de
que simplificam a equação.
Primeiro, vamos escolher
:
Passo 6
Em seguida, escolhemos
:
Passo 7
Agora, vamos derivar a equação original para encontrar
e
. Primeiramente, expanda o lado direito da equação:
Expandindo e agrupando termos de mesma potência, podemos igualar os coeficientes.
Após simplificar, obtemos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação,
.
Substituindo na segunda:
Passo 8
Agora que temos todos os valores:
Substituindo de volta na decomposição de frações parciais:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 10
Integrando cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
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Mostre que as igualdades são verdadeiras.