integral (raiza-raizx)^2raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral juntos! A gente tem a seguinte expressão:
integral (raiza-raizx)^2raizx dx
Estamos lidando com integrais que envolvem raízes e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar expandir o numerador, simplificar a fração e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado no numerador. Sabemos que:
(raiza - raizx)^2 = (raiza)^2 - 2raizaraizx + (raizx)^2
Simplificando cada termo:
a - 2raizaraizx + x

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão de volta na integral:
integral a - 2raizaraizx + xraizx dx
Vamos dividir essa fração em três partes:
integral ( araizx - 2raizaraizxraizx + xraizx ) dx
Simplificando os termos:
  • araizx permanece como está.
  • 2raizaraizxraizx = 2raiza
  • xraizx = raizx
Então, a integral fica:
integral ( araizx - 2raiza + raizx ) dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que:
  • integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso aos nossos termos:
  1. integral araizx dx = a integral x^-1/2 dx
  2. integral (-2raiza) dx = -2raiza integral dx
  3. integral raizx dx = integral x^1/2 dx

Passo 5

Calculando cada integral:
  1. a integral x^-1/2 dx = a cdot x^1/21/2 = 2a raizx
  2. -2raiza integral dx = -2raiza cdot x
  3. integral x^1/2 dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2

Passo 6

Agora, juntamos todos os resultados e adicionamos a constante de integração C:
2a raizx - 2raiza cdot x + 23 x^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a:
2a raizx - 2raiza, x + 23 x^3/2 + C

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