Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral x(arctan x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão pertence ao conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser integral u , dv = uv - integral v , du e na fórmula da integração por partes:
Vamos escolher porque, ao derivar , simplificamos a expressão, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular u = (arctan x)^2 Rightarrow du = 2 arctan x cdot 11 + x^2 dx e dv = x , dx Rightarrow v = x^22 :
  • Derivada de :
  • Integração de :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x(arctan x)^2 dx = uv - integral v , du
Substituindo = (arctan x)^2 cdot x^22 - integral x^22 cdot 2 arctan x cdot 11 + x^2 dx , = x^22 (arctan x)^2 - integral x^21 + x^2 arctan x , dx e :
Simplificando:

Passo 5

Observe que integral (1 - 11 + x^2) arctan x , dx = integral arctan x , dx - integral arctan x1 + x^2 dx . Vamos substituir isso na integral:
Vamos chamar estas integrais de e , respectivamente.

Passo 6

Primeiro, resolvemos I1 = x arctan x - integral x1 + x^2 dx . Usando integração por partes novamente:
  • Escolha I1 = x arctan x - 12 ln(1 + x^2) e .
  • Então, e .
Aplicando a fórmula:
A integral resultante é , então:

Passo 7

Agora, resolvemos I2 = integral t , dt = t^22 + C = (arctan x)^22 . Vamos usar uma substituição:
  • Seja , então .
  • A integral se torna:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
x^22 (arctan x)^2 - (I1 - I2)
Substituindo = x^22 (arctan x)^2 - (x arctan x - 12 ln(1 + x^2) - (arctan x)^22) e = x^22 (arctan x)^2 - x arctan x + 12 ln(1 + x^2) + (arctan x)^22 :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral x^22 (arctan x)^2 - x arctan x + 12 ln(1 + x^2) + (arctan x)^22 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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