integral(s^3+2 s^2-5 s+5)(3 s^2+4 s-5) d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de dois polinômios multiplicados: integral(s^3+2 s^2-5 s+5)(3 s^2+4 s-5) d s. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a integração de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar os polinômios para simplificar a integral e depois aplicar as regras de integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois polinômios dentro da integral para simplificar a expressão. Isso significa que precisamos distribuir cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Vamos fazer isso passo a passo:
(s^3 + 2s^2 - 5s + 5)(3s^2 + 4s - 5) &= s^3 cdot 3s^2 + s^3 cdot 4s + s^3 cdot (-5) & + 2s^2 cdot 3s^2 + 2s^2 cdot 4s + 2s^2 cdot (-5) & -5s cdot 3s^2 -5s cdot 4s -5s cdot (-5) & + 5 cdot 3s^2 + 5 cdot 4s + 5 cdot (-5)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
s^3 cdot 3s^2 &= 3s^5 s^3 cdot 4s &= 4s^4 s^3 cdot (-5) &= -5s^3 2s^2 cdot 3s^2 &= 6s^4 2s^2 cdot 4s &= 8s^3 2s^2 cdot (-5) &= -10s^2 -5s cdot 3s^2 &= -15s^3 -5s cdot 4s &= -20s^2 -5s cdot (-5) &= 25s 5 cdot 3s^2 &= 15s^2 5 cdot 4s &= 20s 5 cdot (-5) &= -25

Passo 4

Vamos agora somar todos esses termos juntos:
3s^5 + 4s^4 - 5s^3 + 6s^4 + 8s^3 - 10s^2 - 15s^3 - 20s^2 + 25s + 15s^2 + 20s - 25

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termo de s^5: 3s^5
  • Termos de s^4: 4s^4 + 6s^4 = 10s^4
  • Termos de s^3: -5s^3 + 8s^3 - 15s^3 = -12s^3
  • Termos de s^2: -10s^2 - 20s^2 + 15s^2 = -15s^2
  • Termos de s: 25s + 20s = 45s
  • Termo constante: -25
Então, a expressão simplificada dentro da integral fica:
3s^5 + 10s^4 - 12s^3 - 15s^2 + 45s - 25

Passo 6

Agora que temos a expressão simplificada, podemos integrar termo a termo. A regra básica para integrar s^n é:
integral s^n ds = s^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.
Vamos aplicar essa regra a cada termo:
integral 3s^5 ds &= 3 cdot s^66 = 12s^6 integral 10s^4 ds &= 10 cdot s^55 = 2s^5 integral (-12s^3) ds &= -12 cdot s^44 = -3s^4 integral (-15s^2) ds &= -15 cdot s^33 = -5s^3 integral 45s ds &= 45 cdot s^22 = 452s^2 integral (-25) ds &= -25s

Passo 7

Agora, vamos juntar todos esses resultados e adicionar a constante de integração C:
12s^6 + 2s^5 - 3s^4 - 5s^3 + 452s^2 - 25s + C

Resposta

A integral integral(s^3+2 s^2-5 s+5)(3 s^2+4 s-5) d s é igual a:
12s^6 + 2s^5 - 3s^4 - 5s^3 + 452s^2 - 25s + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados