integral t^2(a+b t^3)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo . Isso pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a resolução. Observa que no denominador temos u = a + b t^3 . Vamos chamar essa expressão de .
Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 3 b t^2 em relação a , ou seja, , para poder substituir . Calculando:

Passo 4

Queremos expressar t^2 dt = du3 b em termos de . Rearranjando a equação anterior:

Passo 5

Substituímos agora na integral original usando integral t^2(a + b t^3)^2 dt = integral 1u^2 cdot du3 b = 13 b integral u^-2 du e :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral de integral u^-2 du = u^-1-1 + C = -1u + C em relação a :

Passo 7

Voltamos à variável original -1u + C = -1a + b t^3 + C substituindo :

Passo 8

Finalmente, colocamos tudo junto e simplificamos:
13 b ( -1a + b t^3 ) + C = -13 b (a + b t^3) + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados